开局一张图，内容全靠编。
理解了上面这句话，你就理解了熵。
我没有开玩笑，熵有着非常通俗的解释，但绝不是混乱程度，因为“混乱”这个词的定义本身就很混乱，对于理解“熵”没有任何帮助。
熵，真正严谨且通俗的理解是：不确定度。
从一张图开始
你能编出多少种对话？
正如本文开头所说，开局一张图，内容全靠编，这就是“熵”的精髓。
编出的故事越多，图片真正表达的意思就越不确定，“熵”就越大（这其实就是“信息熵”）。
在物理学中，可以说：
开局一个宏观状态，微观状态全靠编。
宏观状态，就是物体的温度、密度、压强、……这些参数。
微观状态，就是组成物体的每一个原子的位置和速度。
编出的微观状态越多，宏观状态真正对应的微观状态就越不确定，熵就越大。
如果你看到这里还是一头雾水，请往下看。
玻尔兹曼的熵
提到“熵”这个词，大部分人想到的应该都是熵增定律（孤立系统的熵，只增不减）。
熵增，总是和不可逆的现象联系在一起。演示熵增现象的典型例子就是气体的扩散：
容器两边的气体分布越均匀，熵就越大。
均匀分布，这是宏观状态，那么对应的微观状态是什么？
答案很简单：不知道。
注意，必须知道组成气体的每一个原子的位置和速度，才算是知道微观状态。这个条件实在太变态，导致我们不可能知道任何确切的微观状态。
不过，我们对于微观状态也不是完全不了解。
对于一个宏观状态，虽然我们不知道它具体对应的微观状态，但我们可以分析它可能对应的微观状态。
还是看气体的扩散，为了简化问题，我们考虑只有4个气体分子的情况：
进一步简化问题，我们只考虑这4个气体分子的位置，并且只考虑两种位置：容器的左半边、容器的右半边。
那么，从宏观上看，打开挡板后，一共可能有5种状态：
上面的5种状态都是宏观状态，只考虑了容器左右两边的分子数。
如果考虑微观状态，就要给每一个分子编号，具体指出每一个分子究竟在容器的左半边还是右半边。
不同的宏观状态，可能对应的微观状态的个数也不一样。
熵，真的表示混乱程度？你确定吗？
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-08-:06
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认知皆模型
开局一张图，内容全靠编。
理解了上面这句话，你就理解了熵。
我没有开玩笑，熵有着非常通俗的解释，但绝不是混乱程度，因为“混乱”这个词的定义本身就很混乱，对于理解“熵”没有任何帮助。
熵，真正严谨且通俗的理解是：不确定度。
从一张图开始你能编出多少种对话？
正如本文开头所说，开局一张图，内容全靠编，这就是“熵”的精髓。
编出的故事越多，图片真正表达的意思就越不确定，“熵”就越大（这其实就是“信息熵”）。
在物理学中，可以说：
开局一个宏观状态，微观状态全靠编。
宏观状态，就是物体的温度、密度、压强、……这些参数。
微观状态，就是组成物体的每一个原子的位置和速度。
编出的微观状态越多，宏观状态真正对应的微观状态就越不确定，熵就越大。
如果你看到这里还是一头雾水，请往下看。
玻尔兹曼的熵提到“熵”这个词，大部分人想到的应该都是熵增定律（孤立系统的熵，只增不减）。
熵增，总是和不可逆的现象联系在一起。演示熵增现象的典型例子就是气体的扩散：
容器两边的气体分布越均匀，熵就越大。
均匀分布，这是宏观状态，那么对应的微观状态是什么？
答案很简单：不知道。
注意，必须知道组成气体的每一个原子的位置和速度，才算是知道微观状态。这个条件实在太变态，导致我们不可能知道任何确切的微观状态。
不过，我们对于微观状态也不是完全不了解。
对于一个宏观状态，虽然我们不知道它具体对应的微观状态，但我们可以分析它可能对应的微观状态。
还是看气体的扩散，为了简化问题，我们考虑只有4个气体分子的情况：
进一步简化问题，我们只考虑这4个气体分子的位置，并且只考虑两种位置：容器的左半边、容器的右半边。
那么，从宏观上看，打开挡板后，一共可能有5种状态：
上面的5种状态都是宏观状态，只考虑了容器左右两边的分子数。
如果考虑微观状态，就要给每一个分子编号，具体指出每一个分子究竟在容器的左半边还是右半边。
不同的宏观状态，可能对应的微观状态的个数也不一样。
可以发现，容器左右两边各有2个气体分子的时候，可能对应的微观状态最多。
大家也可以考虑总共有6个气体分子、8个气体分子、……、n个气体分子的情况，最终的结果都是：
容器左右两边的分子数越均匀，可能对应的微观状态就越多。
物理学认为每一个微观状态出现的概率都相同，所以对于宏观状态来说，容器左右两边的分子数越均匀，出现的概率就越大。
所以，气体的扩散，只是让最可能出现的宏观状态出现（这也是对熵增定律的一个解释）。
一个宏观状态可能对应的微观状态的个数，就是这个宏观状态的微观状态数，也可以称为配容数。
由此，玻尔兹曼（L.E.Boltzmann）给出了微观层面的熵的定义：
宏观层面的熵，由克劳修斯（R.J.E.Clausius）给出定义，就是热量除以温度（热量与温度之商）。
汉字“熵”也由此被创造。
需要注意，微观状态数是对一个具体宏观状态而言的。确定了宏观状态，才能谈论微观状态数。
正是因为我们对宏观物体的微观状态知之甚少，才有了“熵”这个概念，用来衡量我们对微观状态的不确定度。
爱因斯坦也是由此认为：熵增（一切不可逆的现象，包括时间）只是由于人类的无知而产生的错觉。
很多教材以及科普作品都把熵和“混乱”、“无序”联系在一起。由于“混乱”、“无序”本身就是很主观的词汇，所以我不建议大家把熵理解成“混乱”、“无序”。
“不确定度”、“可能性”，这些词汇才能真正反映熵的意义。
路德维希·玻尔兹曼（L.E.Boltzmann）
吉布斯的熵
我们在上文借助气体扩散的现象，用微观状态数理解了熵。
但是上文的理解方法过于简化，对于一个气体分子，我们只考虑了它的位置，并且只考虑了它的位置在容器左边或右边。
这种简化实在太过分了，严重偏离了热力学和统计物理学的基础：经典力学。
其实，微观状态数这个概念本身就严重偏离了经典力学，这也是玻尔兹曼对熵的定义的“硬伤”。
我们需要梳理一下经典力学、热力学、统计物理学的关系。
宏观物体由大量原子或分子组成，统计物理学研究的是大量原子或分子运动的统计规律，热力学研究的是这些统计规律的宏观表现，原子或分子运动遵循的底层原理是经典力学（暂且不考虑量子力学）。
所以，可以得到这样的示意图：
经典力学是统计物理学的基础，统计物理学是热力学的基础。
以下内容可能较为硬核，请酌情跳过部分内容。
为什么宏观物体的微观状态是每一个原子（分子）的位置和速度？
因为这是经典力学的要求，我们可以看一看经典力学的基本方程，牛顿第二定律：
从数学的视角来看，牛顿第二定律是二阶常微分方程，想要求出特解（一条具体的运动轨迹），就要知道两个初始条件：
初始位置。
初始速度（初始位置的一阶导数）。
如果我们的要求不是很严格，可以认为初始条件就是初始状态。
所以，在经典力学中，牛顿第二定律和初始状态唯一地确定了一条运动轨迹。
牛顿第二定律是物体运动的“共性”。
初始状态是物体运动的“个性”。
所以，如果我们想描述物体的运动状态，只需描述物体的位置和速度。
描述原子或分子的运动状态，也需要描述位置和速度。大量原子（分子）的位置和速度，共同组成了宏观物体的微观状态。
经典力学是连续的物理，不管是位置还是速度，都能连续取值。
比如一个分子的速度可能是0.9km/s、0.99km/s、0.km/s、0.9km/s、……
这就导致微观状态数可以（且一定）无穷多，任意一个宏观状态可以对应无穷多个微观状态！
此时，如果还套用玻尔兹曼对熵的定义，就会发现：每一个宏观状态的熵都是无穷大！
这还了得？
为了消除无穷大的熵，我们需要使用吉布斯（J.W.Gibbs）对熵的定义。和玻尔兹曼的熵相比，吉布斯的熵把微观状态数换成了相空间的体积。
至于什么是相空间？
这和经典力学的一种形式（哈密顿力学）有关，经典力学有种等价的形式：
牛顿力学
拉格朗日力学
哈密顿力学
在哈密顿力学中，物体的运动状态由位置和动量描述，而不是位置和速度。动量和速度的关系很简单，速度乘以质量，就是动量。
用动量取代速度的原因，很复杂，在这里不便解释。
不过我们依旧可以用速度来理解相空间，只需把动量理解成：按特定比例放大的速度。
我们可以用平面坐标系来表示二维空间。此时，对于我们通常所说的二维空间，平面坐标系的两个坐标轴的单位都是距离单位。
类似的，我们还可以用平面坐标系来表示二维相空间。此时，平面坐标系的两个坐标轴的单位分别是距离单位、动量单位。
二维相空间（示意图）
在三维空间，一个物体可以向三个方向运动，所以它的相空间是六维相空间（三个空间维度、三个动量维度）。
相空间中的一个点，就表示一个物体的运动状态（位置和动量）。
如果要描述两个物体的运动状态，可以用六维相空间中的两个点，也可以用十二维相空间（可以分解成两个六维相空间）中的一个点。
在统计物理学中，会使用十二维相空间，只用相空间中的一个点，描述所有物体的运动状态。
以此类推，如果要描述n个物体（原子或分子）的运动状态，就要用2n维相空间中的一个点。
十二维相空间（示意图）
所以，一个微观状态（每个原子或分子的位置和动量），就对应着相空间中的一个点。
一个宏观状态可能对应的微观状态，就对应着相空间中的一个区域，这个区域里面包含着无穷多个点，这相当于无穷多个微观状态。
这个区域的“体积”（简称为“相空间的体积”），就相当于微观状态数。
从玻尔兹曼的熵，到吉布斯的熵。
相当于从“古典概型”到“几何概型”。
一个宏观状态对应的相空间的体积越大，微观状态就越不确定，熵就越大。
使用相空间，就把经典力学和热力学紧密联系起来，让统计物理学成为一门严谨的科学。
对于熵，我们依然可以把它理解成“微观状态的不确定度”。相空间的体积，只是为了处理无穷多的微观状态。
约西亚·威拉德·吉布斯（J.W.Gibbs）
熵增？熵减？
熵增定律，真的正确吗？
一般来说，温度越高，熵越大。气体的熵最大，液体的熵次之，固体的熵最小。
气体分子的运动很剧烈，微观状态自然很难确定。固体分子只能在某个平衡位置附近振动，微观状态就比较确定。
如果固体达到绝对零度，固体分子就完全静止，可以唯一地确定微观状态，此时的熵就是零（当然，绝对零度不可达，任何物体的熵都不会是零）。
由此，就会就有一些让人纠结的现象，让人分不清熵增和熵减。
我们可以设想，一个密封的瓶子里有一些热水，把它放到远离任何星球的太空中，那么这个瓶子和里面的热水就是一个孤立系统（与外界没有能量交换和物质交换）。
按照熵增定律，这个孤立系统的熵应该增加。
需要注意，熵最大的状态，就是热平衡的状态。
但是，如果分析具体的物理过程，你会发现热水应该降温，变成冷水，然后再结冰。这样看来，热水的熵应该在减小。
至于装热水的瓶子，在热平衡的状态下，它的温度应该和里面的水一致，也会变冷，熵应该也在减小。
说好的熵增去哪儿了？
如果只看瓶子和里面的水，熵确实在减小。
但这并不违反熵增定律，因为只看瓶子和里面的水，根本就不是孤立系统，当然可能出现熵减现象。
大部分人都忽略了至关重要的一个成分：光（电磁波）。
只要物体的温度高于绝对零度，就一直在向外辐射电磁波。瓶子和里面的水也一样，它们不断向外辐射电磁波，和外界有能量交换，所以不是孤立系统。
把向外辐射电磁波也考虑进来，才是孤立系统，严格满足熵增定律。
没错，电磁波也有熵，详细内容可以参考这篇文章：
论太阳对人类的恩赐，能量不是关键，关键是熵，阳光的熵
回到瓶子和水的场景，我们会发现，熵增是由电磁波实现的。至于我们习以为常的物体，反倒在熵减。
这才是熵增的真正模式：一部分熵增，一部分熵减，总体看来还是熵增。并且熵增通常是由电磁波实现。
此时不得不提经常有人问的一个问题：
既然由熵增定律，生命如何诞生？
现在，有了熵增真正模式的心理准备，再看生命的诞生，大家是不是觉得理所应当？
本文原创作者为：认知皆模型。
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